При запуске искусственных небесных тел им сооб­щается начальная скорость (скорость запуска) vн зави­сящая от рассчитанной орбиты. Начальная скорость со­общается космическим двигателем на некоторой высоте h_н над поверхностью центрального тела (вокруг которого запускается спутник), г. е. от его центра на рас­стоянии

r=R+h_н,        (74)

где R — средний радиус этого тела. В частности, при запуске вокруг Зем­ли R = 6371 км ~ 6370 км, что следует иметь в виду при решении задач этого раздела.

Форма и размеры эл­липтической орбиты ис­кусственного спутника оп­ределяются целями запус­ка (рис. 8).

Рис.   8.    Эллиптическая    орбита искусственного снутпика

Центр цент­рального тела является одним из фокусов орби­ты, а ее большая полуось

причем перицентрическое расстояние

q = R+h_q               (76)

и  апоцентрическое расстояние

Q = R+h_Q,             (77)

где h_q — наименьшая высота (высота перицентра) и h_Q — наибольшая высота (высота апоцентра) искусствен­ного спутника над поверхностью тела. Для искусствен­ных спутников и орбитальных кораблей Земли h_q — вы­сота перигея, h_Q — высота апогея, q — перигейиое рас­стояние и Q — апогейное расстояние.

Эксцентриситет орбиты определяется формулой (35).

Скорость искусственных небесных тел обычно выра­жается в км/с и вычисляется по формулам (40), (64) — (66)   и   (68) —(70).

Периоды обращения искусственных спутников приня­то измерять в минутах, а их расстояния—в километрах, и поэтому третий закон Кеплера имеет вид

(78) 

или

(79)

и

(80)

где M — масса центрального тела, выраженная в массах Земли.

По параметрам обращения искусственного спутника можно вычислить массу центрального тела.

Продолжительность полета искусственных спутников над полушарием центрального тела, расположенным под перицентром орбиты   (перицентрийное полушарие),

(81)

где Τ — период обращения спутника и е — эксцентриси­тет его орбиты.

Над противоположным (апоцентрийным) полушари­ем спутник пролетает за интервал времени

τ=T—t.  (82)

Формулы (75) — (82) вполне применимы и к движе­нию естественных спутников планет.

В полете с одной планеты к другой межпланетная станция (межпланетный корабль) становится спутником Солнца и движется в его поле тяготения по законам дви­жения планет. Простейшей траекторией полета является полуэллиптическая, вершины (апсиды) которой касают­ся орбит планеты запуска (с нее производится запуск) и планеты сближения (к ней направляется станция). Пре­небрегая в первом приближении наклонением и эллип­тичностью планетных орбит, можно проводить расчеты по значениям их больших полуосей a1 (планеты запуска) и a2 (планеты сближения), заданных в астрономических единицах (а. е.).

При полете к верхней планете (рис. 9) запуск станции осуществляется на ее перигельном расстоянии

q=a₁       (83)

в прямом направлении; афелийное же расстояние стан­ции

Q=a₂.     (84)

Рис. 9. Простейшая орбита межпланетного корабля

При направлении станции к нижней планете q = a₂ и

Большая полуось а гелиоцентрической орбиты меж­планетной станции вычисляется по формуле (37), экс­центриситет орбиты — по формуле (35), а продолжи­тельность полета, выраженная в годах,

(85)

где а — в астрономических единицах. При необходимости Δt переводится в сутки.

Гелиоцентрическая скорость полета станции дается формулами (41), (64), (65) и (66). При запуске к верх­ней планете начальная гелиоцентрическая скорость V_н = V_q а при запуске к нижней планете V_н = V_Q причем в эту скорость V_н входит орбитальная (в рассматривае­мом здесь простейшем случае—круговая)   скорость   V₁ планеты запуска. Следовательно, чтобы межпланетная станция вышла на расчетную гелиоцентрическую орбиту, необходимо сообщить ей дополнительную скорость

V_д = V_н - V₁              (86)

Но, чтобы покинуть планету запуска, станция долж­на еще преодолеть ее притяжение, на что требуется ки­нетическая   энергия 
,  где т — масса   станции   и

w_п — вторая космическая (критическая) скорость на по­верхности этой планеты. Поэтому скорость запуска vн станции с планеты, называемая также начальной плане-тоцентрической скоростью, найдется из равенства

откуда

        (87)

День запуска t₁ межпланетной станции не может быть произвольным и выбирается по подходящей конфигура­ции Δλ₂ планеты сближения Ρ (см. рис. 9), иначе стан­ция придет в намеченный район встречи либо раньше, ли­бо позже планеты. У планеты сближения с сидерическим периодом обращения Т₂ среднее суточное движение.

и за найденную по формуле (85) продолжительность по­лета станции Δt (выраженную в сутках) планета должна прийти в район встречи A, пройдя по своей орбите путь

Следовательно, в день t₁ старта межпланетной стан­ции разность гелиоцентрической долготы планеты сбли­жения (l₂) и планеты запуска (l₁) должна быть

l₂- l₁ = 180°—L₂ = 180° — ω₂Δt         (88)

и по этой разности нетрудно найти в астрономическом календаре-ежегоднике на текущий год подходящий день l₁. В этот день расстояние между планетами

(89)

а конфигурация Δλ₂ планеты сближения вычисляется ли­бо из равенства

(90)

либо по формуле

(91)

Легко видеть, что при L₂ < 180° найденная элонгация будет западной, а при L₂ > 180° — восточной.

Очевидно, межпланетная станция подойдет к плане­те сближения в день t₂ = t₁ + Δt.