Закон всемирного тяготения и задача двух тел |
В частном случае задачи двух тел рассматривается движение тела меньшей массы т относительно тела большей массы М, принимаемого за неподвижное и называемого центральным телом. Линейная скорость v движущегося тела относительно центрального определяется интегралом энергии
где μ=G(Μ+m), а — большая полуось орбиты тела меньшей массы, r — радиус-вектор того же тела, G — гравитационная постоянная. Если масса т движущегося тела пренебрежимо мала в сравнении с массой Μ центрального тела, то задача двух тел называется ограниченной и тогда μ = GΜ. Согласно интегралу энергии, чтобы тело меньшей массы обращалось вокруг центрального тела по круговой орбите (эксцентриситет е=0) радиусом r=а, оно должно на этом расстоянии иметь скорость называемую круговой скоростью. Как средняя скорость движения тела она может быть также подсчитана по периоду обращения Τ и большой полуоси а орбиты тела: Если движущееся тело на расстоянии r от центрального тела имеет скорость то орбитой будет парабола (е=1, а=∞). Поэтому скорость vп называется параболической. Если v>vп, то движущееся тело пройдет мимо центрального тела по гиперболе (e>1). В каждой точке орбиты с радиус-вектором r скорость тела
Точка эллиптической орбиты, ближайшая к центральному телу, называется перицентром, а наиболее удаленная от него—апоцентром. Эти точки получают конкретные наименования но названию центрального тела, и некоторые из них приведены в нижеследующей таблице:
В перицентре, при r = q = а(1—е), тело-спутник обладает наибольшей скоростью а в апоцентре, при r = Q = a (1 + e), — наименьшей скоростью
Скорость небесных тел всегда выражается в км/с, а расстояния могут быть заданы в астрономических единицах, километрах или радиусах центрального тела. Поэтому в формулы (64), (65) и (66) необходимо подставлять значения расстояний в одинаковых единицах измерения. В поле тяготения Солнца, на произвольном от него расстоянии r, выраженном в астрономических единицах (а. е.), круговая скорость Если расстояния r заданы в километрах, а масса центрального тела выражена в массах Земли, то круговая скорость
Наконец, при измерении масс в массах Земли и расстояний в радиусах Земли круговая скорость Средняя или круговая скорость va тела, обращающегося вокруг центрального тела по эллиптической орбите с большой полуосью а, также вычисляется по формулам (67), (68) и (69) подстановкой в них r=а. Подстановка в формулы (68) и (69) r = R (радиус небесного тела) дает значение круговой скорости wк у поверхности этого тела, называемой в космонавтике первой космической скоростью. Вторая космическая скорость Wп—Wк√2. Очевидно, что где r отсчитывается от центра небесного тела и выражается в его радиусах. Третий обобщенный закон Кеплера применим к любым системам тел с массами m1 и m2, обращающихся с периодами Т1 и Т2 вокруг своих центральных тел (с массами M1 и М2) по эллиптическим орбитам, большие полуоси которых соответственно равны а1 и а2. Массы планет и их спутников выражаются обычно в массах Земли (реже — в массах Солнца, в тоннах и килограммах), большие полуоси орбит — в астрономических единицах или в километрах, а периоды обращения— в годах и сутках, а иногда — в часах и минутах. При вычислениях по формуле (71) выбор системы единиц не имеет значения, лишь бы однородные величины были выражены в одинаковых единицах. Если же этот закон используется в виде
то решение задач проводится обязательно в определенной системе единиц, так как в разных системах численное значение гравитационной постоянной различно. Если периоды обращения заданы в земных средних сутках, расстояния — в километрах и массы тел — в массах Земли, то третий закон Кеплера имеет вид Т2 (М+m) = 132,7 · 10-16а3. (73)
|