Сборник задач по астрономии - Закон всемирного тяготения и задача двух тел
Закон всемирного тяготения и задача двух тел

В частном случае задачи двух тел рассматривается движение тела меньшей массы т относительно тела большей массы М, принимаемого за неподвижное и на­зываемого центральным телом.

Линейная скорость v движущегося тела относительно центрального   определяется   интегралом   энергии

             (61)

где μ=G(Μ+m), а — большая полуось орбиты тела меньшей массы, r — радиус-вектор того же тела, G — гра­витационная постоянная.

Если масса т движущегося тела пренебрежимо мала в сравнении с массой Μ центрального тела, то задача двух тел называется ограниченной и тогда μ = GΜ.

Согласно интегралу энергии, чтобы тело меньшей массы обращалось вокруг центрального тела по круго­вой орбите (эксцентриситет е=0) радиусом r=а, оно должно на этом расстоянии иметь скорость

              (62)

называемую круговой скоростью. Как средняя скорость движения тела она может быть также подсчитана по пе­риоду обращения Τ и большой полуоси а орбиты тела:

             (40)

Если движущееся тело на расстоянии r от централь­ного тела имеет скорость

              (63)

то орбитой будет парабола (е=1, а=∞). Поэтому ско­рость vп называется параболической.

Если v>vп, то движущееся тело пройдет мимо цент­рального тела по гиперболе (e>1).

В каждой точке орбиты с радиус-вектором r скорость тела

             (64)

 

Точка эллиптической орбиты, ближайшая к централь­ному телу, называется перицентром, а наиболее удален­ная от него—апоцентром. Эти точки получают конкрет­ные наименования но названию центрального тела, и не­которые из них приведены в нижеследующей таблице:

 

Центральное тело

Греческое название

Наименование перицентра

Наименование апоцентра

Солнце

Гелиос       

перигелий

афелий

Земля

Гея

перигей

апогей

Венера

Геспер

перигесперий

апогесперий

Марс

Арес

периарий

апоарий

Сатурн

Кронос

перикроний

апокроний

Луна

Селена

периселений

апоселений

В перицентре, при r = q = а(1—е), тело-спутник обла­дает наибольшей скоростью

             (65)

а в апоцентре, при r = Q = a (1 + e), — наименьшей   ско­ростью

             (66)

Скорость небесных тел всегда выражается в км/с, а расстояния могут быть заданы в астрономических еди­ницах, километрах или радиусах центрального тела. По­этому в формулы (64), (65) и (66) необходимо подстав­лять значения расстояний в одинаковых единицах измерения.

В поле тяготения Солнца, на произвольном от него расстоянии r, выраженном в астрономических единицах (а. е.), круговая скорость

             (67)

Если расстояния r заданы в километрах, а масса центрального тела выражена в массах Земли, то круго­вая скорость

 

             (68)

Наконец, при измерении масс в массах Земли и рас­стояний в радиусах Земли круговая скорость

             (69)

Средняя или круговая скорость va тела, обращающе­гося вокруг центрального тела по эллиптической орбите с большой полуосью а, также вычисляется по формулам (67), (68) и (69) подстановкой в них r=а.

Подстановка в формулы (68) и (69) r = R (радиус небесного тела) дает значение круговой скорости wк у поверхности этого тела, называемой в космонавтике пер­вой космической скоростью. Вторая космическая ско­рость Wп—Wк√2. Очевидно, что

             (70)

где r отсчитывается от центра небесного тела и выража­ется в его радиусах.

Третий обобщенный закон Кеплера

              (71)

применим к любым системам тел с массами m1 и m2, об­ращающихся с периодами Т1 и Т2 вокруг своих централь­ных тел (с массами M1 и М2) по эллиптическим орбитам, большие полуоси которых соответственно равны а1 и а2.

Массы планет и их спутников выражаются обычно в массах Земли (реже — в массах Солнца, в тоннах и ки­лограммах), большие полуоси орбит — в астрономиче­ских единицах или в километрах, а периоды обраще­ния— в годах и сутках, а иногда — в часах и минутах.

При вычислениях по формуле (71) выбор системы единиц не имеет значения, лишь бы однородные величи­ны были выражены в одинаковых единицах. Если же этот закон используется в виде

              (72)

то решение задач проводится обязательно в определен­ной системе единиц, так как в разных системах числен­ное значение гравитационной постоянной различно.

Если периоды обращения заданы в земных средних сутках, расстояния — в километрах и массы тел — в мас­сах Земли, то третий закон Кеплера имеет вид

Т2 (М+m) = 132,7 · 10-16а3.                (73)

 

 

 
Основы сферической и практической астрономии
Основы теоретической астрономии и небесной механики
Телескопы
Основы астрофизики и звездной астрономии
Прочее