Сборник задач по астрономии - Эмпирические законы Кеплера и конфигурации планет
Эмпирические законы Кеплера и конфигурации планет

Планеты обращаются вокруг Солнца по эллиптиче­ским орбитам, в одном, общем фокусе которых находит­ся Солнце. В первом приближении можно считать, что орбиты больших планет (кроме Плутона) лежат в одной плоскости. Большая полуось α орбиты (рис. 4) опреде­ляет размеры, а эксцентриситет е — степень вытянутости орбиты.

 

Рис. 4. Эллиптическая орбита

Радиус-вектор r планеты определяется уравне­нием эллипса

                          (34)

и меняется в пределах от перигельного расстояния

q= СП = α (1—е),                                   (35)

когда истинная аномалия θ=0°, до афелийного расстоя­ния

Q = CA = α (l+e)                                      (36)

при θ =180°.

Средним расстоянием планеты от Солнца является большая полуось ее орбиты

                             (37)

Расстояния между планетами и расстояния планет от Солнца обычно выражаются в астрономических едини­цах (а. е.), но иногда и в километрах из расчета, что 1 а. е. = 149,6·106 км.

 

Звездные, или си­дерические, периоды обращения Т1 и Т2 двух планет связаны с их средними расстоя­ниями а1 и а2 от Солн­ца третьим законом Кеплера

                 (38)

Если Τ дается в го­дах   и   а — в   астроно­мических единицах, то, принимая для Земли T0 = 1 год и а0 = 1 а. е., получим для любой планеты

Т2 = а3                                   (39)

Средняя орбитальная, или круговая, скорость планеты

                 (40)

всегда выражается в км/с. Так как обычно а задается в астрономических единицах (1 а. е.= 149,6·106 км) и T— в годах (1 год=31,56·106 с), то

 


 

Заменив Τ из формулы (39), получим:

средняя продолжительность синодического периода обращения S планеты связана с сидерическим периодом Τ уравнением синодического движения:


 

для  верхних планет


 

для нижних планет

где Т0 — сидерический период обращения Земли, равный 1 звездному году.

 

Средний синодический период обращения позволяет вычислить примерную дату   t2 очередного   наступления определенной конфигурации планеты по известной дате t1 такой же конфигурации, так как

t2 ~ t1 + S.         (44)

Любые планетные конфигурации и даты их наступле­ния могут быть вычислены по гелиоцентрической долго­те l планет, отсчитываемой в плоскости эклиптики от точки весеннего равноденствия γ в прямом направле­нии, т. е. против вращения часовой стрелки. Пусть в не­который день года t1 гелиоцентрическая долгота верхней планеты l1 а гелиоцентрическая долгота Земли l01 (рис. 5). Планета за средние сутки проходит по орбите дугу ω = 360°/T (среднее суточное движение планеты), а Земля — дугу ω0=360°/T0 (среднее суточное движение Земли), где Τ и Т0 выражены в средних сутках, причем Т > Т0 и ω < ω0.

В день t2 искомой конфигурации гелиоцентрическая долгота планеты 

 

l2 = l1 + ω(t2- t1) = l1 + ω Δt      (45)

 

 

Рис. 5. Гелиоцентрическая долгота

 

 

а Земли

l02 = l01 + ω0 (t2—t1) = l01+ω·Δt,        (46)

откуда,  обозначив   ω0—ω = Δω   и   (l02—l01) — (l2—l1) = L, получим:

Δt=L/Δω                  (47)

и

t2 = t1+Δt.             (48)

При вычислении конфигураций нижних планет Δω = ω—ω0.

Наибольшие сближения с Землей планет, обращаю­щихся по заметно вытянутым орбитам, повторяются че­рез целые числа m и n средних синодических S и сидери­ческих Τ периодов обращения, поскольку

mS = nT.                (49)

Эта же формула позволяет установить периодичность великих противостояний планет.

 
Основы сферической и практической астрономии
Основы теоретической астрономии и небесной механики
Телескопы
Основы астрофизики и звездной астрономии
Прочее