Связь между горизонтальными и экваториальными небесными координатами осуществляется через парал­лактический треугольник PZM (рис. 3), вершинами ко­торого служат полюс мира Р, зенит Ζ и светило M, а сторонами — дуга ΡΖ небесного меридиана, дуга ΖΜ круга высоты светила и дуга РМ его круга склонения. Оче видно, что ΡΖ=90°—φ, ZM = z = 90°—h и PM=90°—δ, где φ — географическая широта места наблюдения, z — зенитное расстояние, h — высота и δ — склонение све­тила.

Рис. 3. Параллактический треугольник

В параллактическом треугольнике угол при зените равен 180°—A, где A — азимут светила, а угол при по­люсе мира — часовому углу t того же светила. Тогда горизонтальные координаты вычисляются по формулам

cos z = sin φ · sin δ + cos φ · cos δ · cos t,                               (28)

sin z · cos A = - sin δ · cos φ+cos δ · sin φ · cos t,                  (29)

sin z · sin A = cos δ · sin t,                                                         (30)

а экваториальные координаты — по формулам

sin δ = cos z · sin φ — sin z · cos φ · cos A,                          (31)

cos δ · cos t = cos z · cos φ+sin z · sin φ · cos A,                    (32)

cos δ · sin t=sin z · sin A,                                                           (30)

причем t = S — α, где α — прямое восхождение светила и S — звездное время.

При расчетах необходимо по таблице 3  пере­водить интервалы звездного времени ΔS в интервалы среднего времени ΔT (или наоборот), а звездное время s₀ — в среднюю гринвичскую полночь заданной даты за­имствовать из астрономических календарей-ежегодников (в задачах этого раздела значения s₀ приводятся).

Пусть некоторое явление в каком-то пункте земной поверхности произошло в момент Τ по принятому там времени. В зависимости от принятой системы счета вре­мени по формулам (19), (20) или (21) находится сред­нее гринвичское время T₀, представляющее собой интер­вал среднего времени ΔT, протекший с гринвичской пол­ночи (ΔT=T₀). Этот интервал по таблице 3 пере­водится в интервал звездного времени ΔS (т. е. ΔT→ΔS), и тогда в заданный момент T соответствующий средне­му гринвичскому времени T₀, звездное время в Гринвиче

S₀=s₀+ΔS,            (33)

а в данном пункте

S = S₀+λ,               (14)

где λ — географическая долгота места,

Перевод интервалов звездного времени ΔS в интерва­лы среднего времени ΔΤ = Τ₀ (т. е. ΔS→ΔT) осуществля­ется по таблице 3 вычитанием поправки.

Моменты времени и азимуты точек восхода и захода светил вычисляются по формулам (28), (29), (30) и (13), в которых принимается z=90°35' (с учетом рефракции ρ = 35').

Найденные значения часового угла и азимута в пре­делах от 180 до 360° соответствуют восходу светила, а в пределах от 0 до 180° — его заходу.

При вычислениях восхода и захода Солнца учитыва­ется еще его угловой радиус r=16'. Найденные часовые углы t дают моменты по истинному солнечному време­ни (см. формулу (17), которые но формуле (16) перево­дятся в моменты среднего времени, а затем — в приня­тую систему счета.

Моменты восхода и захода всех светил вычисляются с точностью, не превышающей 1м.